Opções de preços sob taxas de juros estocásticas: uma nova abordagem.
Yong-Jin Kim Naoto Kunitomo.
Generalizaremos a fórmula de preços de opções de Black-Scholes, incorporando taxas de juros estocásticas. Embora a literatura existente tenha obtido algumas fórmulas para opções de estoque sob taxas de juros estocásticas, as soluções fechadas foram conhecidas apenas sob os processos de taxa de juros Gaussiana (tipo Merton). Mostramos que uma solução explícita, que é uma fórmula alargada de Black-Scholes sob taxas de juros estocásticas em certo sentido assintótico, pode ser obtida estendendo a abordagem de expansão assintótica quando a volatilidade da taxa de juros é pequena. Este método, chamado de assintótica de pequeno distúrbio para processos Itô, foi recentemente desenvolvido por Kunitomo e Takahashi (1995, 1998) e Takahashi (1997). Descobrimos que a fórmula alargada de Black-Scholes é decomposta na fórmula original de Black-Scholes nas taxas de juros deterministas e o prazo de ajuste impulsionado pela volatilidade das taxas de juros. Vamos ilustrar a precisão numérica da nossa nova fórmula usando o modelo Cox-Ingersoll-Ross para as taxas de juros.
Esta versão revisada foi publicada on-line em agosto de 2006 com correções na Data da capa.
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Yong-Jin Kim 1 Naoto Kunitomo 1 1. Faculdade de Economia Universidade de Tóquio Tóquio Japão.
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Preço Opções de estoque com taxa de juros estocástica.
46 Páginas Postado: 3 Out 2011.
Menachem (Meni) Abudy.
Universidade Bar-Ilan - Escola de Pós-Graduação em Administração de Empresas.
Yehuda (Yud) Izhakian.
Universidade da Cidade de Nova York, CUNY Baruch College - Zicklin School of Business - Departamento de Economia e Finanças.
Preço Opções de estoque com taxa de juros estocástica.
Preço Opções de estoque com taxa de juros estocástica.
Data escrita: 3 de outubro de 2011.
Este artigo constrói uma generalização em forma fechada do modelo Black-Scholes para o caso em que a taxa de juros de curto prazo segue um processo Gaussiano estocástico. Capturar essa fonte adicional de incerteza parece ter um efeito considerável sobre os preços das opções. Mostramos que o valor da opção de compra de ações aumenta com a volatilidade da taxa de juros e com prazo de vencimento. Nossos testes empíricos suportam o modelo teórico e demonstram uma melhoria significativa de preços em relação ao modelo Black-Scholes. A magnitude da melhoria é uma função positiva do tempo da opção até o vencimento, sendo a maior melhoria obtida para opções em torno do dinheiro.
Palavras-chave: opção, opção de compra, opção de venda, paridade de chamada, taxa de juros estocástica.
Classificação JEL: G12, G13.
Menachem Abudy (Autor do Contato)
Universidade Bar-Ilan - Escola de Pós-Graduação em Administração de Empresas ()
Yehuda (Yud) Izhakian.
Universidade da Cidade de Nova York, CUNY Baruch College - Zicklin School of Business - Departamento de Economia e Finanças ()
17 Lexington Avenue.
New York, NY 10010.
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Opções de estoque de preços com taxa de juros estocástica
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Black-Scholes sob taxas de juros estocásticas.
Estou tentando implementar a fórmula Black-Scholes para classificar uma opção de chamada sob taxas de juros estocásticas. Seguindo o livro de McLeish (2005), a fórmula é dada por (assumindo que as taxas de juros são não-regionais, ou seja, conhecidas):
onde $ \ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $ é a taxa de juros média ao longo da vida da opção.
Se as taxas de juros são aleatórias, "ainda poderíamos usar a fórmula de Black-Scholes primeiro condicionando as taxas de juros, de modo que.
e depois calcular o valor incondicional esperado disto simulando valores de $ \ bar $ e em média ".
Não tenho certeza de como posso calcular $ \ bar $ dado um caminho de exemplo simulado.
Nós assumimos que a taxa de juros baixa $ r_t $ segue o modelo Hull-White, ou seja, a taxa curta $ r $ e o preço das ações $ S $ satisfaz um sistema de SDEs do formulário \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t - a \, r_t) dt + \ sigma_0 dW_t ^ 1, \\ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big], \ end onde $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $ e $ \ rho $ são constantes, e $ \ $ e $ \ $ são dois movimentos brownianos padrão independentes.
Observe que \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T - \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big [S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (F (S_0, K, \ bar, T, \ sigma, W_T ^ 1) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big), \ end para uma determinada função $ F $. Observe a variável aleatória $ W_T ^ 1 $ na fórmula.
Se $ \ rho = 0 $, isto é, $ S $ e $ r $ são independentes, então \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end Isto é, a fórmula fornecida na pergunta é válida se o preço da ação e a taxa de juros forem independentes. Neste caso, $ \ bar $ pode ser aproximado por uma quantia de Riemann.
Aqui, fornecemos uma fórmula de avaliação analítica para a opção europeia de vanilla acima. A partir desta questão, o preço da obrigação de cupão zero é dado por \ begin P (t, T) & amp; = E \ left (e ^ \ Big \ vert \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = \ exp \ left ( - B (t, T) r_t - \ int_t ^ T \ theta (s) B (s, T) ds + \ frac \ int_t ^ T \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ termine onde \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). \ end Então \ begin d \ ln P (t, T) & amp; = - e ^ r_tdt - B (t, T) dr_t + \ theta (t) B (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 dt \\ & amp; = \ left (r_t - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 \ right) dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t, \ tag \ fim ou \ begin dP (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big]. \fim.
Deixe $ Q $ indicar a medida neutra ao risco e $ Q ^ T $ indicar a medida de $ T $. Além disso, deixe $ B_t = e ^ $ ser o valor da conta do mercado monetário. De $ (1) $, \ begin \ frac> \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; = \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end Então, pelo teorema de Girsanov, sob $ Q ^ T $, o processo $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, onde \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t ^ 1 + \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & amp; = W_t ^ 2, \ end é um movimento browniano padrão bidimensional. Além disso, em $ Q ^ T $, \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; = P (t, T) \ Big [\ big (r_t + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (t, T) \ grande) dt - \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ \ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \\ & amp; = S_t \ Big [\ big (r_t - \ rho \ sigma_0 \ sigma B (t, T) \ grande) dt + \ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big]. \ tag \ end.
Observe que, o preço antecipado $ F (t, T) $ tem a forma \ begin F (t, T) & amp; = E_ (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac. \ end que é uma martingale sob a medida $ T $ - forward $ Q ^ T $ e satisfaz uma SDE da forma \ begin dF (t, T) & amp; = \ frac - \ frac dP (t, T) \\ & amp; \ qquad - \ frac + \ frac d \ langle P (t, T), P (t, T) \ rangle \\ & amp; = F (t, T) \ esquerda [\ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) + \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ grande (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ grande) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ fim Deixe $ \ hat $ uma quantidade definida por \ begin T \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (s, T) \ big) ^ 2 + \ sigma ^ 2 \ big (1- \ rho ^ 2 \ big) \ Big] ds \\ & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ sigma ^ 2 + 2 \ rho \ sigma \ sigma_0 B (s, T ) + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] ds \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T + \ frac \ big (1-e ^ \ big) - \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [ T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T - \ frac e ^ + \ frac e ^ - \ frac \ Big]. \ end Então \ begin F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right), \ end onde $ Z $ é um padrão normal variável aleatória. Conseqüentemente, \ begin E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; = E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; = E_ \ left (\ frac \ frac \ bigg | _T \ right) \\ & amp; = P (0, T) E_ \ left ((F (T, T) - K) ^ + \ right) \\ & amp; = P (0, T) \ big [F (0, T) N (d_1) - KN (d_2) \ big], \ end onde $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ e $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
Para definir o preço da opção, devemos seguir a construção de Black Scholes para construir uma carteira sem risco em t, em seguida, indicar que a taxa instantânea de retorno dessa carteira é a taxa de risco livre r (t) onde r é aleatório em [t, t + dt] intervalo. Na verdade, chegamos ao problema que não poderia ser incorporado no mundo dos preços BS.
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Black-Scholes sob taxas de juros estocásticas.
Estou tentando implementar a fórmula Black-Scholes para classificar uma opção de chamada sob taxas de juros estocásticas. Seguindo o livro de McLeish (2005), a fórmula é dada por (assumindo que as taxas de juros são não-regionais, ou seja, conhecidas):
onde $ \ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $ é a taxa de juros média ao longo da vida da opção.
Se as taxas de juros são aleatórias, "ainda poderíamos usar a fórmula de Black-Scholes primeiro condicionando as taxas de juros, de modo que.
e depois calcular o valor incondicional esperado disto simulando valores de $ \ bar $ e em média ".
Não tenho certeza de como posso calcular $ \ bar $ dado um caminho de exemplo simulado.
Nós assumimos que a taxa de juros baixa $ r_t $ segue o modelo Hull-White, ou seja, a taxa curta $ r $ e o preço das ações $ S $ satisfaz um sistema de SDEs do formulário \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t - a \, r_t) dt + \ sigma_0 dW_t ^ 1, \\ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big], \ end onde $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $ e $ \ rho $ são constantes, e $ \ $ e $ \ $ são dois movimentos brownianos padrão independentes.
Observe que \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T - \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big [S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (F (S_0, K, \ bar, T, \ sigma, W_T ^ 1) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big), \ end para uma determinada função $ F $. Observe a variável aleatória $ W_T ^ 1 $ na fórmula.
Se $ \ rho = 0 $, isto é, $ S $ e $ r $ são independentes, então \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end Isto é, a fórmula fornecida na pergunta é válida se o preço da ação e a taxa de juros forem independentes. Neste caso, $ \ bar $ pode ser aproximado por uma quantia de Riemann.
Aqui, fornecemos uma fórmula de avaliação analítica para a opção europeia de vanilla acima. A partir desta questão, o preço da obrigação de cupão zero é dado por \ begin P (t, T) & amp; = E \ left (e ^ \ Big \ vert \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = \ exp \ left ( - B (t, T) r_t - \ int_t ^ T \ theta (s) B (s, T) ds + \ frac \ int_t ^ T \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ termine onde \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). \ end Então \ begin d \ ln P (t, T) & amp; = - e ^ r_tdt - B (t, T) dr_t + \ theta (t) B (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 dt \\ & amp; = \ left (r_t - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 \ right) dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t, \ tag \ fim ou \ begin dP (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big]. \fim.
Deixe $ Q $ indicar a medida neutra ao risco e $ Q ^ T $ indicar a medida de $ T $. Além disso, deixe $ B_t = e ^ $ ser o valor da conta do mercado monetário. De $ (1) $, \ begin \ frac> \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; = \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end Então, pelo teorema de Girsanov, sob $ Q ^ T $, o processo $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, onde \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t ^ 1 + \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & amp; = W_t ^ 2, \ end é um movimento browniano padrão bidimensional. Além disso, em $ Q ^ T $, \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; = P (t, T) \ Big [\ big (r_t + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (t, T) \ grande) dt - \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ \ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \\ & amp; = S_t \ Big [\ big (r_t - \ rho \ sigma_0 \ sigma B (t, T) \ grande) dt + \ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big]. \ tag \ end.
Observe que, o preço antecipado $ F (t, T) $ tem a forma \ begin F (t, T) & amp; = E_ (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac. \ end que é uma martingale sob a medida $ T $ - forward $ Q ^ T $ e satisfaz uma SDE da forma \ begin dF (t, T) & amp; = \ frac - \ frac dP (t, T) \\ & amp; \ qquad - \ frac + \ frac d \ langle P (t, T), P (t, T) \ rangle \\ & amp; = F (t, T) \ esquerda [\ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) + \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ grande (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ grande) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ fim Deixe $ \ hat $ uma quantidade definida por \ begin T \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (s, T) \ big) ^ 2 + \ sigma ^ 2 \ big (1- \ rho ^ 2 \ big) \ Big] ds \\ & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ sigma ^ 2 + 2 \ rho \ sigma \ sigma_0 B (s, T ) + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] ds \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T + \ frac \ big (1-e ^ \ big) - \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [ T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T - \ frac e ^ + \ frac e ^ - \ frac \ Big]. \ end Então \ begin F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right), \ end onde $ Z $ é um padrão normal variável aleatória. Conseqüentemente, \ begin E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; = E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; = E_ \ left (\ frac \ frac \ bigg | _T \ right) \\ & amp; = P (0, T) E_ \ left ((F (T, T) - K) ^ + \ right) \\ & amp; = P (0, T) \ big [F (0, T) N (d_1) - KN (d_2) \ big], \ end onde $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ e $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
Para definir o preço da opção, devemos seguir a construção de Black Scholes para construir uma carteira sem risco em t, em seguida, indicar que a taxa instantânea de retorno dessa carteira é a taxa de risco livre r (t) onde r é aleatório em [t, t + dt] intervalo. Na verdade, chegamos ao problema que não poderia ser incorporado no mundo dos preços BS.
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Black-Scholes sob taxas de juros estocásticas.
Estou tentando implementar a fórmula Black-Scholes para classificar uma opção de chamada sob taxas de juros estocásticas. Seguindo o livro de McLeish (2005), a fórmula é dada por (assumindo que as taxas de juros são não-regionais, ou seja, conhecidas):
onde $ \ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $ é a taxa de juros média ao longo da vida da opção.
Se as taxas de juros são aleatórias, "ainda poderíamos usar a fórmula de Black-Scholes primeiro condicionando as taxas de juros, de modo que.
e depois calcular o valor incondicional esperado disto simulando valores de $ \ bar $ e em média ".
Não tenho certeza de como posso calcular $ \ bar $ dado um caminho de exemplo simulado.
Nós assumimos que a taxa de juros baixa $ r_t $ segue o modelo Hull-White, ou seja, a taxa curta $ r $ e o preço das ações $ S $ satisfaz um sistema de SDEs do formulário \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t - a \, r_t) dt + \ sigma_0 dW_t ^ 1, \\ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big], \ end onde $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $ e $ \ rho $ são constantes, e $ \ $ e $ \ $ são dois movimentos brownianos padrão independentes.
Observe que \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T - \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big [S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma \ big (\ rho W_T ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ Big] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (F (S_0, K, \ bar, T, \ sigma, W_T ^ 1) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big), \ end para uma determinada função $ F $. Observe a variável aleatória $ W_T ^ 1 $ na fórmula.
Se $ \ rho = 0 $, isto é, $ S $ e $ r $ são independentes, então \ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big (S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; \ E \ Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end Isto é, a fórmula fornecida na pergunta é válida se o preço da ação e a taxa de juros forem independentes. Neste caso, $ \ bar $ pode ser aproximado por uma quantia de Riemann.
Aqui, fornecemos uma fórmula de avaliação analítica para a opção europeia de vanilla acima. A partir desta questão, o preço da obrigação de cupão zero é dado por \ begin P (t, T) & amp; = E \ left (e ^ \ Big \ vert \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = \ exp \ left ( - B (t, T) r_t - \ int_t ^ T \ theta (s) B (s, T) ds + \ frac \ int_t ^ T \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ termine onde \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). \ end Então \ begin d \ ln P (t, T) & amp; = - e ^ r_tdt - B (t, T) dr_t + \ theta (t) B (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 dt \\ & amp; = \ left (r_t - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) ^ 2 \ right) dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t, \ tag \ fim ou \ begin dP (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big]. \fim.
Deixe $ Q $ indicar a medida neutra ao risco e $ Q ^ T $ indicar a medida de $ T $. Além disso, deixe $ B_t = e ^ $ ser o valor da conta do mercado monetário. De $ (1) $, \ begin \ frac> \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; = \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end Então, pelo teorema de Girsanov, sob $ Q ^ T $, o processo $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, onde \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t ^ 1 + \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & amp; = W_t ^ 2, \ end é um movimento browniano padrão bidimensional. Além disso, em $ Q ^ T $, \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; = P (t, T) \ Big [\ big (r_t + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (t, T) \ grande) dt - \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ \ dS_t & amp; = S_t \ Big [r_t dt + \ sigma \ Big (\ rho dW_t ^ 1 + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \\ & amp; = S_t \ Big [\ big (r_t - \ rho \ sigma_0 \ sigma B (t, T) \ grande) dt + \ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big]. \ tag \ end.
Observe que, o preço antecipado $ F (t, T) $ tem a forma \ begin F (t, T) & amp; = E_ (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac. \ end que é uma martingale sob a medida $ T $ - forward $ Q ^ T $ e satisfaz uma SDE da forma \ begin dF (t, T) & amp; = \ frac - \ frac dP (t, T) \\ & amp; \ qquad - \ frac + \ frac d \ langle P (t, T), P (t, T) \ rangle \\ & amp; = F (t, T) \ esquerda [\ sigma \ Big (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) + \ sigma_0 B (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ grande (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ grande) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ fim Deixe $ \ hat $ uma quantidade definida por \ begin T \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (s, T) \ big) ^ 2 + \ sigma ^ 2 \ big (1- \ rho ^ 2 \ big) \ Big] ds \\ & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ sigma ^ 2 + 2 \ rho \ sigma \ sigma_0 B (s, T ) + \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] ds \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T + \ frac \ big (1-e ^ \ big) - \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] \\ & amp; = \ sigma ^ 2T + \ frac \ Big [ T \ frac \ big (1-e ^ \ big) \ Big] + \ frac \ Big [T - \ frac e ^ + \ frac e ^ - \ frac \ Big]. \ end Então \ begin F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right), \ end onde $ Z $ é um padrão normal variável aleatória. Conseqüentemente, \ begin E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; = E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; = E_ \ left (\ frac \ frac \ bigg | _T \ right) \\ & amp; = P (0, T) E_ \ left ((F (T, T) - K) ^ + \ right) \\ & amp; = P (0, T) \ big [F (0, T) N (d_1) - KN (d_2) \ big], \ end onde $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ e $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
Para definir o preço da opção, devemos seguir a construção de Black Scholes para construir uma carteira sem risco em t, em seguida, indicar que a taxa instantânea de retorno dessa carteira é a taxa de risco livre r (t) onde r é aleatório em [t, t + dt] intervalo. Na verdade, chegamos ao problema que não poderia ser incorporado no mundo dos preços BS.
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